واريانس

راهنماي جامع تحليل هاي آماري

تعريف علم آمار

علم آمار به مجموعه‌اي از روش‌هاي علمي اطلاق مي‌شود كه براي جمع‌آوري، مرتب‌سازي، خلاصه‌سازي، طبقه‌بندي، و تجزيه و تحليل داده‌ها به كار مي‌رود. اين علم كمك مي‌كند تا اطلاعات اوليه به‌طور مؤثر تفسير شوند و نتايج قابل اعتمادي براي اتخاذ تصميمات آگاهانه ارائه دهند.

با استفاده از تكنيك‌هاي آماري، پژوهشگران مي‌توانند الگوها و روابط ميان داده‌ها (Data) را شناسايي كرده و به درك بهتري از پديده‌هاي مورد مطالعه دست يابند.

تعريف جامعه آماري

هر مجموعه‌اي از اشياء يا افرادي كه حداقل يك صفت مشترك دارند، جامعه آماري ناميده مي‌شود. هر يك از اشياء موجود در يك جامعه آماري را فرد جامعه مي‌گويند. همچنين، مجموع اشياء موجود در يك جامعه آماري، حجم جامعه ناميده مي‌شود.

تعريف متغير

صفات هر يك از افراد يك جامعه آماري كه از فردي به فرد ديگر تغيير مي‌كنند، متغير ناميده مي‌شوند.

متغيرها مي‌توانند ويژگي‌ها يا مقاديري باشند كه قابل اندازه‌گيري يا محاسبه هستند.

متغيرها به دو دسته تقسيم مي شوند:

1. متغير كيفي (Qualitative Variables)

متغيرهايي كه واحد ندارند و قابل شمارش يا اندازه‌گيري نيستند، ولي مي‌توان آن‌ها را طبقه‌بندي كرد، به عنوان متغيرهاي كيفي يا كلامي شناخته مي‌شوند. اين متغيرها به توصيف ويژگي‌ها و خصوصيات افراد يا اشياء مي‌پردازند و معمولاً در دسته‌هاي مختلف تقسيم‌بندي مي‌شوند.

به عنوان مثال: جنس: مرد يا زن، شغل: پزشك، مهندس، معلم، نوع بيماري: ديابت، فشار خون بالا، سرطان.

متغيرهاي كيفي معمولاً در پژوهش‌ها به‌منظور تحليل تفاوت‌ها و روابط ميان گروه‌هاي مختلف استفاده مي‌شوند.

متغير هاي كيفي نيز دو قسم هستند

1-1. متغير اسمي (Nominal Variables)

متغيرهاي كيفي كه قابل مقايسه با يكديگر نيستند و تنها به توصيف ويژگي‌ها مي‌پردازند، به عنوان متغيرهاي اسمي شناخته مي‌شوند. اين متغيرها فقط دسته‌ها يا گروه‌هاي متفاوتي را مشخص مي‌كنند و هيچ گونه ترتيب يا درجه‌بندي در بين آن‌ها وجود ندارد.

به عنوان مثال: رنگ چشم: مشكي، قهوه‌اي، آبي و سبز.

نمي‌توان گفت كه رنگ مشكي از رنگ قهوه‌اي بهتر است، زيرا اين رنگ‌ها تنها تفاوت‌هاي ظاهري دارند و هيچ‌يك بر ديگري برتري ندارد.

ديگر مثال‌ها از متغيرهاي اسمي شامل جنسيت (مرد و زن)، نژاد، نوع شغل و نام يك شخص هستند.

اين نوع متغيرها در تحليل‌هاي آماري براي ايجاد طبقه‌بندي و مقايسه‌هاي كيفي بسيار مفيد هستند.

2-1. متغير ترتيبي (Ordinal Variables)

متغيرهاي كيفي كه شدت و ضعف را نشان مي‌دهند و در آن‌ها ترتيب يا رابطه‌اي‌ بين مقادير وجود دارد، به عنوان متغيرهاي ترتيبي (Ordinal Variables) شناخته مي‌شوند. در اين نوع متغيرها، مي‌توان درجات يا مقادير را مرتب‌سازي كرد، اما فاصله بين اين درجات معنادار نيست.

مثال‌هايي از متغيرهاي ترتيبي: مقياس رضايت مشتري: مانند «خيلي راضي»، «راضي»، «ناراضي» و «خيلي ناراضي».

مي‌توان اين پاسخ‌ها را ترتيب داد، اما نمي‌توان به‌سادگي فاصله بين آن‌ها را اندازه‌گيري كرد.

سطح تحصيلات: مانند «ديپلم»، «ليسانس»، «فوق ليسانس» و «دكتري».

اين مقادير به‌طور واضحي ترتيب دارند، ليكن نمي‌توان گفت كه چه فاصله‌اي بين «ديپلم» و «ليسانس» وجود دارد.

درجه بندي يك مسابقه: مانند «نفر اول»، «نفر دوم» و «نفر سوم».

در تحليل‌هاي آماري، متغيرهاي ترتيبي مي‌توانند به شناسايي الگوها و تمايزات كمك كنند و نتايج مفيدي ارائه دهند.

2. متغير هاي كمي (Quantitative Variables)

متغيرهايي كه قابل اندازه‌گيري يا شمارش و همچنين قابل مقايسه و سنجش هستند، به عنوان متغيرهاي كمي شناخته مي‌شوند.

اين متغيرها به دو دسته اصلي تقسيم مي‌شوند:

1-2. متغيرهاي كمي گسسته (Discrete Variables)

متغيرهاي كمي گسسته، متغيرهايي هستند كه قابل شمارش‌اند و بين مقادير مختلف آن‌ها فاصله وجود دارد. به بيان ديگر، اين نوع متغيرها شامل مقادير جدا از هم هستند و نمي‌توان در بين آن‌ها مقدار جديدي تصور كرد.

مثال:

تعداد اعضاي خانواده: نمي‌توان گفت كه در يك خانواده 2.5 نفر وجود دارد.

تعداد دانش‌آموزان در كلاس: مانند 20، 21 و 22 دانش‌آموز.

2-2. متغيرهاي كمي پيوسته (Continuous Variables)

متغيرهاي كمي پيوسته، متغيرهايي هستند كه مقادير آن‌ها مي‌توانند هر عددي در يك بازه واقعي باشند و هيچ فاصله معناداري بين هيچ دو مقدار مشخص وجود ندارد.

مثال:

قد كه مي‌تواند هر عددي باشد، مانند 170.5 سانتي‌متر.
وزن كه مي‌تواند مقادير مختلفي به شكل پيوسته داشته باشد، مانند 65.2 كيلوگرم.
طول كه مي‌تواند به صورت پيوسته اندازه‌گيري شود.

در كل، متغيرهاي كمي به محققان اين اجازه را مي‌دهند كه تحليل‌هاي دقيق‌تري انجام دهند و به نتايج قابل اعتمادي دست پيدا كنند.

بررسي آماري

بررسي آماري فرآيندي است كه در آن موضوع مورد مطالعه با يك جامعه آماري مرتبط شده و فرد يا افراد جامعه مورد بررسي قرار مي‌گيرند.

اين فرآيند معمولاً شامل سه مرحله زير است:

مشاهده (Observation)

در مرحله مشاهده، ويژگي‌ها يا صفت‌هاي مختلف افراد يا اشياء در جامعه آماري مورد مطالعه قرار مي‌گيرند. داده‌ها از طريق روش‌هاي مختلف جمع‌آوري مي‌شوند، نظير نظرسنجي، مشاهدات ميداني يا استفاده از داده‌هاي موجود.

گروه بندي، تهيه جداول و رسم نمودارها

در مرحله گروه بندي، تهيه جداول و رسم نمودارها، داده‌هاي جمع‌آوري‌شده به گروه‌هاي مختلف طبقه‌بندي مي‌شوند. جداول و نمودارهاي مختلف (مانند جداول فراواني، نمودارهاي ميله‌اي و دايره‌اي) براي نمايش بصري داده‌ها تهيه مي‌شوند.

محاسبه شاخص‌ها، مشخصه‌ها و تحليل آن‌ها

در مرحله محاسبه شاخص‌ها، مشخصه‌ها و تحليل آن‌ها، شاخص‌هاي آماري مختلف (مانند ميانگين، ميانه، دامنه، و انحراف معيار) محاسبه مي‌شوند تا ويژگي‌هاي كليدي داده‌ها را مشخص كنند. همچنين تجزيه و تحليل داده‌ها براي شناسايي الگوها، روابط و نتايج اصلي انجام مي‌شود.

اين سه مرحله به تحليلگران اين امكان را مي‌دهد كه داده‌ها را دسته‌بندي كرده و اطلاعات مفيدي استخراج كنند كه مي‌تواند به تصميم‌گيري‌ها و سياست‌گذاري‌ها كمك كند.
آمارگيري
در مطالعات آماري، هنگامي كه اطلاعات آماري را نمي‌توان از ثبت جاري و اطلاعات موجود به دست آورد، از آمارگيري استفاده مي‌شود.

مشاهدات آماري به‌طور كلي به دو نوع تقسيم مي‌شوند:

مشاهده سراسري (Census)

در مشاهده سراسري، كليه افراد جامعه مورد مطالعه قرار مي‌گيرند. اين نوع مشاهدات معمولاً به عنوان سرشماري شناخته مي‌شود و در گذشته به جمع‌آوري اطلاعات مربوط به جمعيت انسان‌ها محدود بود، اما امروزه در تمام زمينه‌ها از جمله كشاورزي، اقتصاد و ساير علوم به كار مي‌رود.

مشاهده غيرسراسري (Non-Census)

در مشاهده غيرسراسري، مشاهدات شامل تمام افراد جامعه نمي‌شود.

3. آمارگيري نمونه‌اي (Sampling)

از روش آمارگيري نمونه‌اي براي مشاهده غيرسراسري استفاده مي‌شود. به‌ طوري كه، گروهي از افراد به عنوان نمونه انتخاب مي‌شوند تا نماينده‌اي از جامعه اصلي باشند.

نمونه‌گيري مي‌تواند به روش‌هاي مختلفي انجام شود:

نمونه‌گيري تصادفي (Random Sampling)

نمونه‌گيري تصادفي يكي از دقيق‌ترين روش‌هاي آمارگيري است كه در آن افراد به‌طور تصادفي و مطابق با قانون احتمالات انتخاب مي‌شوند. در اين روش، هر نمونه با يك شانس معين انتخاب شده و نماينده جامعه اصلي خواهد بود.

انواع نمونه‌گيري تصادفي

نمونه‌گيري تصادفي ساده (Simple Random Sampling)
در روش نمونه‌گيري تصادفي ساده، شانس انتخاب براي هر واحد نمونه برابر است، و مي‌توان آن را به دو روش انجام داد:

با جاي‌گذاري (With Replacement)
پس از انتخاب هر واحد، آن واحد دوباره به جمعيت نمونه برمي‌گردد و مي‌تواند دوباره انتخاب شود.

بدون جاي‌گذاري (Without Replacement)
پس از انتخاب هر واحد، آن واحد از جمعيت نمونه حذف مي‌شود و نمي‌تواند دوباره انتخاب شود.

نمونه‌گيري تصادفي با احتمال متغير (Random Sampling with Variable Probability)
در روش نمونه‌گيري تصادفي با احتمال متغير، شانس انتخاب هر يك از اعضاي جامعه برابر نيست و مي‌تواند بر اساس ويژگي‌ها يا معيارهاي خاصي متفاوت باشد.

نمونه‌گيري خوشه‌اي (Cluster Sampling)
نمونه‌گيري خوشه‌اي يك نوع نمونه‌گيري تصادفي است كه به جاي انتخاب افراد به‌صورت جداگانه، گروه‌هايي (خوشه‌ها) از افراد جامعه به عنوان واحد انتخابي در نظر گرفته مي‌شوند. اين روش را مي‌توان به دو صورت با جاي‌گذاري و بدون جاي‌گذاري اجرا كرد. اين روش نمونه‌گيري مي‌تواند هزينه و زمان اجراي تحقيق را به‌خصوص در جوامع بزرگ و پراكنده كاهش دهد.

نمونه‌گيري تصادفي طبقه‌اي (Stratified Random Sampling)
در روش نمونه‌گيري تصادفي طبقه‌اي، جامعه آماري به چند طبقه (Strata) متناسب با يك يا چند ويژگي خاص تقسيم مي‌شود. از هر يك از طبقات، تعداد معيني از واحدها به‌طور تصادفي انتخاب مي‌شود. اگر طبقات هم‌حجم نباشند، نسبت نمونه‌ها بايد به‌طور متناسب با حجم هر طبقه انتخاب شود تا نتيجه‌ي نهايي نماينده جامعه باشد. در اين صورت، ممكن است اين روش را نمونه‌گيري تصادفي با احتمال متغير ناميم.

آمارگيري با روش توده اصلي (Whole Population Sampling)
در روش توده اصلي، به جاي مطالعات بر روي كل جامعه، جزء يا ناحيه‌اي از جامعه انتخاب مي‌شود كه تمام موضوعات مورد نظر را دربر مي‌گيرد. اين روش كمك مي‌كند تا تجربيات و نظرات متنوع‌تري از جامعه بيان شود بدون اين كه نياز به آمارگيري از تمام افراد وجود داشته باشد.

آمارگيري با روش يكه‌نگاري (Case Study)
در روش يكه‌نگاري، تنها يك واحد از جامعه به عنوان نمونه انتخاب مي‌شود و به‌طور دقيق و جزئي بررسي مي‌شود. اگرچه اين روش اطلاعات عميقي درباره يك مورد خاص ارائه مي‌كند، اما نتايج آن به‌خوبي به كل جامعه تعميم نمي‌شوند و از لحاظ عمومي محدوديت‌هايي دارند.

آمارگيري با روش مكاتبه (Mail Survey)
در روش آمارگيري با روش مكاتبه، يك پرسش‌نامه تهيه و براي افراد جامعه ارسال مي‌شود؛ سپس پاسخ‌هاي دريافتي مورد مطالعه قرار مي‌گيرند.

اين روش مي‌تواند به جمع‌آوري داده‌هاي نظرسنجي، نظرات، يا اطلاعات مختلف كمك كند، اما پاسخ‌دهي ممكن است كمتر از روش‌هاي مستقيم باشد و نتايج ممكن است تحت تأثير عدم پاسخ‌دهي قرار گيرد.

آمار استنباطي و آمار توصيفي

در پژوهش‌هاي اجتماعي و علمي، براي بررسي و توصيف ويژگي‌هاي عمومي پاسخ‌دهندگان از روش‌هاي آمار توصيفي استفاده مي‌شود. اين روش‌ها شامل جداول توزيع فراواني، درصد فراواني، درصد فراواني تجمعي و ميانگين هستند. هدف آمار توصيفي محاسبه پارامترهاي جامعه با استفاده از سرشماري تمامي عناصر آن است. به عبارتي، آمار توصيفي ابزاري است براي ارائه يك تصوير كلي و جامع از ويژگي‌هاي جمعيت مورد مطالعه، كه به محققان امكان مي‌دهد تا الگوها و روندهاي اساسي را شناسايي كنند.

در مقابل، آمار استنباطي يا Inferential، به محقق اين امكان را مي‌دهد كه با استفاده از مقادير نمونه، آماره‌ها را محاسبه كرده و با تكيه بر تخمين و آزمون فرض‌هاي آماري، آماره‌ها را به پارامترهاي جامعه تعميم دهد. در اين روش، پژوهشگر براي تجزيه و تحليل داده‌ها و آزمون فرضيه‌هاي پژوهش از تكنيك‌هاي آمار استنباطي بهره مي‌برد.

پارامترهاي شاخص حاصل از جامعه آماري معمولاً از طريق سرشماري به دست مي‌آيند، در حالي كه شاخص‌هايي كه از يك نمونه n تايي استخراج مي‌شوند، به عنوان آماره شناخته مي‌شوند. به عنوان مثال، ميانگين جامعه (μ) يك پارامتر كليدي است كه در بسياري از مطالعات مورد توجه قرار مي‌گيرد. از آنجايي كه اين ميانگين به‌طور معمول در دسترس نيست، پژوهشگران از ميانگين نمونه، كه آماره‌اي براي برآورد پارامتر μ است، در تجزيه و تحليل‌هاي خود بهره‌برداري مي‌كنند.

آزمون آماري و تخمين آماري

در هر مقاله پژوهشي يا پايان‌نامه، مطرح كردن سوالات يا فرضيه‌هاي پژوهش از اهميت ويژه‌اي برخوردار است. اگر تحقيق بر پايه سوالات طراحي شده باشد و به طور عمده به بررسي پارامترهاي خاص بپردازد، براي پاسخ به اين سوالات معمولاً از تخمين آماري استفاده مي‌شود. در مقابل، اگر تحقيق به شكل فرضيه‌محور باشد و از مرحله سوال فراتر رفته باشد، آزمون فرضيه‌ها و تكنيك‌هاي آماري مربوط به آن به كار گرفته مي‌شود.

براي شروع هر نوع تخمين يا آزمون فرض آماري، مرحله اول تعيين صحيح آماره پژوهش است. اين آماره به عنوان معياري براي سنجش و تحليل داده‌ها عمل مي‌كند. بعد از تعيين آماره، بايد توزيع آماره مشخص شود. اين گام ضروري است، زيرا بر اساس توزيع آماره، آزمون انجام مي‌شود. پس از مشخص شدن توزيع، با استفاده از داده‌هاي به‌دست‌آمده از نمونه، آماره آزمون محاسبه مي‌شود.

در مرحله بعد، ارزش مقدار بحراني بر اساس سطح خطا و نوع توزيع از جداول مربوطه استخراج مي‌شود. اين مقدار بحراني، نشانه‌اي است از مرز تصميم‌گيري در آزمون فرضيه.

در نهايت، با مقايسه آماره محاسبه‌شده و مقدار بحراني، سوال يا فرضيه تحقيق مورد بررسي قرار مي‌گيرد و نتايج تحليل مي‌شود.

اين فرآيند نه تنها به علم محقق در تجزيه و تحليل داده‌ها كمك مي‌كند بلكه اعتبار حرفه‌اي و علمي تحقيق را نيز افزايش مي‌دهد.

آزمون‌هاي آماري پارامتريك و ناپارامتريك

آمار پارامتريك مستلزم پيش‌فرض‌هاي مشخصي درباره جامعه‌اي است كه از آن نمونه‌گيري انجام شده است. مهم‌ترين پيش‌فرض در آمار پارامتريك اين است كه توزيع جامعه نرمال مي‌باشد. به اين معنا كه داده‌ها بايد از يك توزيع استاندارد و عادي پيروي كنند تا نتايج به‌دست‌آمده معتبر و قابل استناد باشد.

از سوي ديگر، آمار ناپارامتريك به هيچ‌گونه فرضي در مورد توزيع داده‌ها نياز ندارد و به همين خاطر در بسياري از تحقيقات علوم انساني كه داده‌ها بر مبناي مقياس‌هاي كيفي سنجيده مي‌شوند و معمولاً توزيع خاصي ندارند، از روش‌هاي آمار ناپارامتريك استفاده مي‌شود. اين رويكرد به پژوهشگران اين امكان را مي‌دهد كه با داده‌هاي غيرنرمال يا مقياس‌هاي غيرمقداري كار كنند بدون آنكه نياز به نگراني درباره توزيع آن‌ها داشته باشند.

فنون آمار پارامتريك به شدت تحت تأثير مقياس سنجش متغيرها و توزيع آماري جامعه قرار دارند. اگر متغيرها از نوع اسمي و ترتيبي باشند، مشخص است كه بايد از روش‌هاي ناپارامتريك استفاده كرد، اما اگر متغيرها از نوع فاصله‌اي و نسبي باشند، در صورتي كه فرض شود توزيع آماري جامعه نرمال يا بهنجار است، مي‌توان از روش‌هاي پارامتريك استفاده كرد. در صورت عدم برآورده شدن اين فرض‌ها، پژوهشگران به ناچار بايد به سراغ روش‌هاي ناپارامتريك بروند.

بنابراين، انتخاب صحيح بين اين دو نوع آمار مي‌تواند تأثير زيادي بر اعتبار و قوت نتايج تحقيق داشته باشد.

چكيده‌اي از آزمون‌هاي پارامتريك

آزمون t تك نمونه (One-Sample t-Test)
آزمون t تك نمونه به منظور بررسي فرض‌هاي مربوط به ميانگين يك جامعه استفاده مي‌شود. به‌خصوص در پژوهش‌هايي كه از مقياس ليكرت (Likert Scale) استفاده مي‌كنند، اين آزمون براي تحليل فرضيه‌ها و سوالات تخصصي به كار مي‌رود. هدف از اين آزمون تعيين اين است كه آيا ميانگين نمونه با يك مقدار مشخص (معمولاً ميانگين جامعه) متفاوت است يا خير.
آزمون t وابسته (Dependent t-Test يا Paired t-Test)
آزمون t وابسته براي مقايسه دو ميانگين از يك جامعه خاص به كار مي‌رود. به عنوان مثال، اگر بخواهيم تغييرات رضايت كاركنان يك سازمان را قبل و بعد از تغيير مديريت بررسي كنيم يا نمرات يك كلاس را با پيش آزمون و پس آزمون سنجش كنيم، از اين آزمون استفاده مي‌شود.
آزمون t دو نمونه مستقل (Independent t-Test)
آزمون t دو نمونه مستقل براي مقايسه ميانگين دو جامعه مستقل از يكديگر به كار مي‌رود. فرض بر اين است كه واريانس دو جامعه برابر است. به عنوان مثال، مي‌توان از آن براي بررسي معني‌دار بودن تفاوت ميانگين نظرات پاسخ‌دهندگان بر اساس جنسيت در خصوص هر يك از فرضيه‌هاي پژوهش استفاده كرد.
آزمون t ولچ (Welch's t-Test)
آزمون t ولچ مشابه آزمون t دو نمونه مستقل است، اما فرض مي‌كند كه واريانس دو جامعه برابر نيست. اين آزمون به پژوهشگران اين امكان را مي‌دهد كه به‌طور دقيق‌تري تفاوت ميانگين‌ها را بررسي كنند، به ويژه زماني كه واريانس‌ها نابرابر هستند.
آزمون t هتلينگ (Hoteling’s T-Squared Test)
آزمون t هتلينگ براي مقايسه چند ميانگين از دو جامعه كاربر دارد و به ويژه در زماني كه مي‌خواهيم دو جامعه را بر اساس ميانگين چندين صفت مقايسه كنيم، به كار مي‌رود.
تحليل واريانس (ANOVA)
ANOVA يك آزمون مهم براي بررسي اختلاف ميانگين چند جامعه آماري است. به عنوان مثال، از اين آزمون مي‌توان براي بررسي تفاوت ميانگين نمره نظرات پاسخ‌دهندگان بر اساس سن يا تحصيلات در خصوص هر يك از فرضيه‌هاي پژوهش استفاده كرد.
تحليل واريانس چند عاملي (MANOVA)
تحليل واريانس چندعاملي يا همان MANOVA به منظور بررسي اختلاف چند ميانگين از چند جامعه آماري به كار مي‌رود و به پژوهشگران اين امكان را مي‌دهد كه همزمان تأثير چند متغير مستقل را بر چند متغير وابسته ارزيابي كنند.
تحليل كوواريانس چند عاملي (MANCOVA)
چنانچه بخواهيم در MANOVA تأثير يك يا چند متغير كمكي را كنار بگذاريم، از MANCOVA استفاده مي‌شود. تحليل كوواريانس چندعاملي به طور كلي براي كنترل اثرات متغيرهاي اضافي در تحليل داده‌ها توسعه يافته است.

چكيده‌اي از آزمون‌هاي ناپارامتريك

آزمون علامت تك نمونه (Sign Test for One Sample)
آزمون علامت تك نمونه براي آزمون فرض پيرامون ميانگين يك جامعه به كار مي‌رود. اين آزمون به محققان اين امكان را مي‌دهد كه بررسي كنند آيا ميانگين نمونه با يك مقدار مشخص متفاوت است يا خير.
آزمون علامت زوجي (Sign Test for Paired Samples)
آزمون علامت زوجي به بررسي فرض پيرامون دو ميانگين از يك جامعه اختصاص دارد. به ويژه در مواردي كه داده‌ها به صورت جفتي جمع‌آوري شده‌اند، اين آزمون مي‌تواند تفاوت‌هاي معنادار را شناسايي كند.
آزمون ويلكاكسون (Wilcoxon Signed-Rank Test)
آزمون ويلكاكسون در واقع همان آزمون علامت زوجي است كه در آن اختلاف نسبي بين مقادير، از ميانگين در نظر گرفته مي‌شود. اين آزمون به‌ويژه در بررسي داده‌هاي زوجي كاربرد دارد.
آزمون من-ويتني (Mann-Whitney U Test)
آزمون من-ويتني يا آزمون U به منظور مقايسه ميانگين دو جامعه مستقل به كار مي‌رود. اين آزمون براي شرايطي مناسب است كه فرض بر نرمال بودن توزيع داده‌ها برقرار نيست.
آزمون كروسكال-واليس (Kruskal-Wallis H Test)
آزمون كروسكال-واليس براي بررسي اختلاف ميانگين چند جامعه آماري استفاده مي‌شود و به آزمون H مشهور است. كروسكال-واليس معادل آزمون پارامتريك آناليز واريانس تك عاملي است و براي داده‌هاي غيرنرمال مناسب مي‌باشد.
آزمون فريدمن (Friedman Test)
آزمون فريدمن معادل روش پارامتريك آناليز واريانس دو عاملي است. در اين آزمون، k تيمار به صورت تصادفي به n بلوك تخصيص داده مي‌شوند و براي داده‌هاي تكراري به كار مي‌رود.
آزمون كولموگروف-اسميرنف (Kolmogorov-Smirnov Test)
آزمون كولموگروف-اسميرنف نوعي آزمون نيكويي برازش (Goodness of Fit Test) است كه براي مقايسه يك توزيع نظري با توزيع مشاهده‌ شده استفاده مي‌شود. اين آزمون به محققان كمك مي‌كند تا بررسي كنند آيا توزيع داده‌ها با توزيع مورد انتظار مطابقت دارد يا خير.
آزمون تقارن توزيع (Distribution Symmetry Test)
آزمون تقارن توزيع به بررسي شكل توزيع داده‌ها مي‌پردازد و فرض بر عدم تقارن توزيع را مورد سوال قرار مي‌دهد.
آزمون ميانه (Median Test)
آزمون ميانه براي مقايسه ميانه دو جامعه به كار مي‌رود و در صورت درخواست، قابليت تعميم به k جامعه ديگر نيز دارد.
آزمون مك‌نمار (McNemar's Test)
براي بررسي مشاهدات زوجي در مورد متغيرهاي دو ارزشي، از آزمون مك‌نمار استفاده مي‌شود. اين آزمون به ويژه در مطالعات قبل و بعد از مداخله مورد توجه قرار مي‌گيرد.
آزمون Q كوكران (Cochran's Q Test)
آزمون Q كوكران درواقع تعميم آزمون مك‌نمار براي k نمونه وابسته است و در بررسي فراواني‌هاي دو ارزشي به كار مي‌رود.
ضريب همبستگي اسپيرمن (Spearman's Rank Correlation Coefficient)
ضريب همبستگي اسپيرمن براي محاسبه همبستگي دو مجموعه داده (Data) كه به صورت ترتيبي قرار دارند، استفاده مي‌شود. اين روش به دليل عدم نياز به فرض‌هاي توزيع خاص، در تحليل‌هاي آماري معتبر است.